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2018高考真题:导数的综合应用(不等式、函数零点等)

时间:2019-10-08 来源:半亩故事园
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 ▍来源:网络  

【文科部分】


1.2018年全国卷Ⅲ文】已知函数

(1)求曲线在点处的切线方程;

(2)证明:当时,



解:(1)



因此曲线在点处的切线方程是


(2)当时,

时,单调递减;

时,单调递增;

所以 .因此


22018年全国卷II文】已知函数

(1)若,求的单调区间;

(2)证明:只有一个零点.


【答案】

(1)fx)在(–∞,),(,+∞

单调递增,


在()单调递减.


(2)fx)只有一个零点.





(2)由于

所以等价于

=

′(x)=≥0,


仅当x=0时′(x)=0,所以gx)在(–∞,+∞)单调递增.故gx)至多有一个零点,从而fx)至多有一个零点.


f(3a–1)=


f(3a+1)=


fx)有一个零点.


综上,fx)只有一个零点. 



3.2018年浙江卷】已知函数f(x)=−lnx

)若f(x)在x=x1x2(x1x2)处导数相等,证明:f(x1)+f(x2)>8−8ln2;

)若a≤3−4ln2,证明:对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.



x

(0,16)

16

(16,+∞)

-

0

+

2-4ln2

所以gx)在[256,+∞)上单调递增,

由()可知gx)≥g(16),

a≤3–4ln2,

故–gx)–1+a≤–g(16)–1+a

=–3+4ln2+a≤0,

所以h′(x)≤0,即函数hx)在(0,+∞)上单调递减,因此方程fx)–kxa=0至多1个实根.

综上,当a≤3–4ln2时,对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=fx)有唯一公共点. 




【理科部分】


1.2018年全国卷Ⅲ理已知函数

1)若,证明:当时,;当时,

2)若的极大值点,求



时,

时,.

故当时,

且仅当时,